ワンポイント数学講座 · 2021/11/24

東大文系数学添削講座より②　解と係数の関係と漸化式

今回は、2次方程式の解と隣接3項間漸化式に関する問題を取り上げてみたいと思います。具体的に扱う東大の過去問は次のものです。

この問題を解く前に、当時生徒と交わした会話をもとに、ポイントを以下にまとめておきます。

例えば2次方程式　 $x^{2}-6x+1=0$ 　を考えます。

この方程式からどのような問題を作ることができるでしょう。

まず考えられるのは、解の公式で解を求める問題。それから解と係数の関係から、解の和と積を求める問題。さらに、対称式変形を利用して

$\alpha ^{2}+ \beta ^{2}, \alpha ^{3}+ \beta ^{3}, \cdots , \alpha ^{n}+ \beta ^{n}$ を求めていく問題などが考えられますね。

さて、今　 $a_{n}= \alpha ^{n}+ \beta ^{n}$ とおきます。

すると、 $( \alpha ^{n}+ \beta ^{n})( \alpha + \beta )= \alpha ^{n+1}+ \beta ^{n+1}+ \alpha \beta ( \alpha ^{n-1}+ \beta ^{n-1})$ 　とできることから

$6 a_{n}= a_{n+1}- a_{n} \hspace{20cm} ( \alpha + \beta =6, \alpha \beta =1)$

すなわち、 $a_{n+2}=6 a_{n+1}- a_{n} \hspace{20cm}( a_{1}=6 , \hspace{5cm} a_{2}=34)$ 　という隣接３項間漸化式ができあがります。

この漸化式を利用すれば、anの偶奇や、1桁目の値を追いかけていくことができます。

ところで、 $a_{n+2}=6 a_{n+1}- a_{n} \hspace{20cm}( a_{1}=6 , \hspace{5cm} a_{2}=34)$ 　から一般項を求めるとき、

$a_{n+2} - \alpha a_{n+1}= \beta ( a_{n+1}- \alpha a_{n})$ 　などを利用して解くのですが、結果として、

$a_{n}= \alpha ^{n}+ \beta ^{n}$ となることがわかりますね。

最後に、 $a_{n}= (3+ \sqrt{5} )^{n}+ (3- \sqrt{5}) ^{n}$ 　について補足します。

$(3+ \sqrt{5}) ^{n}= p_{n}+ q_{n} \sqrt{5} \hspace{20cm} ( p_{n} , q_{n} \in Z )$ 　とおくことができますが、このとき、

$(3- \sqrt{5}) ^{n}= p_{n}- q_{n} \sqrt{5}$ 　とおけるのがポイントです。

証明の肝は、

$(3+ \sqrt{5}) ^{n+1}=(3+ \sqrt{5})( p_{n}+ \sqrt{5} q_{n})=(3 p_{n}+5 q_{n})+ \sqrt{5}( p_{n}+3 q_{n})$ 　から、

$\begin{cases} p_{n+1}=3 p_{n}+5 q_{n} \\ q_{n+1}= p_{n}+3 q_{n} \end{cases}$ 　とするところです。

このことから、

$(3- \sqrt{5} )( p_{n}- \sqrt{5} q_{n})=(3 p_{n}+5 q_{n})- \sqrt{5} ( p_{n}+3 q_{n})= p_{n+1}- \sqrt{5} q_{n+1}$ 　となり、

$\big\{p_{n}- \sqrt{5} q_{n} \big\}$ 　は、初項 $3- \sqrt{5}$ 　公比　 $3- \sqrt{5}$ 　の等比数列になることがわかり、

$(3- \sqrt{5}) ^{n}= p_{n}- \sqrt{5} q_{n}$ 　が得られるのです。

では、それぞれの問題について、ホワイトボードにまとめた解説を以下に示していきましょう。

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