東大文系数学添削講座より③ 円錐台の体積

2000年の東大入試に円錐台の問題が出題されました。添削では下写真のように説明しました。

円錐台の体積を求める式を覚えている人はなかなかいないと思いますので、最初に体積の公式を作っちゃいます。これは、中学の力で十分いけますね。あとはそれにあてはめて式を作り、微分すればおしまいです。

でもこれでお終いにするのは味気ないので、次元解析風に円錐台の公式を求める方法を考えてみましょう。因みにこれは、杜陵サークルの伊藤潤一先生からうかがった話であります。

 

円錐台の上面の円の半径をa、底面の円の半径をbとすると、上面と底面をひっくり返しても体積は変わりませんから、体積の公式は、aとbに関する対称式で表されると考えられます。また、体積は、高さhに比例し、a,b,hに関する3次式になるはずです。

以上から、円錐台の体積Vは、係数k,lを用いて次のように表されます。

ここで、a=0 のとき円錐、a=b のとき円柱になることから定数 k,l が決定されますね。

となるので、求める円錐台の公式は次のように表すことができます。

ホワイトボードにも書いてありますのでご覧ください。