前回、相加相乗平均の不等式の話をしたときに思い出した問題がありましたので、今回はそれを取り上げてみたいと思います。
2002年の宮崎大学の問題です。
これを見てラグビーの問題と気づく人もいるのではないでしょうか。つまり、図のH地点でトライが決まったとき、その後のキック（コンバージョンキック）は、直線ｌ上の任意の地点から行うことができます。ＡとＢのポールの間を通せば成功ということなので、できるだけABを見込む角が大きいところから蹴ればいいわけです。その地点Ｐを決定する問題だったんですね。
ではまず普通に解いてみましょう。
得られた答えがａとｂの相乗平均になっているところが美しいですね。では、この問題を図形的に考えてみましょう。
① A,Bを通る円を考える
② 図Ⅰにおいて、∠AQB＜∠APB となる
③ よって、図ⅡのようにA,Bを通り、ｌに接する円を描けば、その接点Ｐがθの最大値を与える点である
Pの位置の決定の仕方を一つ示しておきたいと思います。
まず、直線ｌに対するＢの対称点Ｂ’を取ります。次に、AB'を直径とする円を考えます。この円とｌが交わった点がＰとなります。これは方べきの定理を利用して平方根の作図を行う方法です。ｂ＝１とすれば任意の√aの作図ができるわけですね。
因みにこの円の直径はａ＋ｂなので、半径はその半分、つまりa,bの相加平均になりますね。図から（相加平均）≧（相乗平均）が言えますし、等号成立はa=bのときであることもわかりますね。
コンバージョンキックをする選手はこんなイメージを持っていれば、見込む角を最大にするポジションがわかるわけです。ってそんなことする選手なんかいませんよね。
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