母関数とラプラス変換の類似性

🔳　隣接3項式漸化式と2階線形微分方程式

隣接3項間漸化式の解法を、次のように2階線形微分方程式のアナロジーとして考えてみましょう。

この対応関係を、以下のように図式化してまとめてみます。

高校では線形微分方程式は扱わないのですが、次に示すように、このアナロジーを知っているといろいろと「お得な」こともあります。

線形空間において、一次独立な基底の結合によって解を決定するという考え方は、高校数学の様々な場面ででてくるので、指導者は頭に入れて欲しいと思います。

🔳　ラプラス変換と線形微分方程式

高校では扱わないラプラス変換ですが、ここでざっくりと説明します。

🔳　母関数とラプラス変換

一般に漸化式は、母関数を用いて解くこともできます。

今、隣接3項間漸化式と2階線形（同次）微分方程式を、特性方程式から基本解を求めていく一般的な方法と、母関数とラプラス変換を用いて解く方法について以下に記しておきます。

ここで、よく使われる母関数とラプラス変換についてまとめておきましょう。

母関数とラプラス変換の方法を見ると、面白いことにその類似性に気づきます。

以下にそのことを簡単にまとめておきましょう。

せっかくなので、隣接４項間漸化式と、3階の線形微分方程式についても母関数とラプラス変換の手法を対比してみます。

どちらも解法の肝は「部分分数分解」ですね。興味を持った方はぜひ更に深く研究してみてくださいね。

最後におまけとして、部分分数分解のための定理（ヘビサイドの展開定理）について記しておきます。