🔳　３にまつわる分割エトセトラ

1990年代、私が30代の頃、数学のおもろい世界にハマって、せっせとレポートを書いてはいろんなところで発表していました。

そんな時、ある学校の先生から、ｎ本のマッチ棒で作られる三角形の個数はどのような式で表せるかと質問されらのをきっかけに、大学で少しだけかじった組合せ論などを思い出しながら、しばしその問題の解決に没頭したことがあります。そうしているうちに、この問題がいろんなところに波及していくことが面白くなり、そんなマニアックな世界にどんどん足を踏み入れていったものでした。

さて、先日、Iさんという、気鋭の数学者からあるレポートをいただきました。内容は、中学校における整数の教材に対する提言でしたが、その中で、自然数の分割問題について面白い話が記されていました。それを読んだとき、昔のマニアックな世界を彷徨っていた自分を思い出し、当時考えていた自然数の分割について、このブログにまとめてみようと思い立ちました。

内容は自然数の分割に関する様々なもので、エピソード１からエピソード４まで書いたところですが、まずはエピソード４の「３にまつわる分割問題」について取り上げてみたいと思います。

とりあえず全体像を以下の図に示すように1枚にまとめてみました。

Ⅰ　自然数ｎを３つの自然数に分割する方法の総数

Ⅱ　自然数ｎを３以下の自然数に分割する方法の総数

Ⅲ　自然数ｎを、少なくとも３を１つ含み、３以下の自然数で分割する方法の総数

Ⅳ　正ｎ角形の頂点を結んでできる三角形で合同でないものの総数

Ⅴ　ｎ本のマッチ棒で作ることが可能な三角形の個数

ここであげた、Ⅰ～Ⅴが本質的に同じものであることを示すというものです。

自然数を、重複を許し、順序は考慮せずに３つの自然数に分割する方法を考えてみます。

もし、順序まで考慮するなら、例えば自然数が6ならば、

1+1+4 , 1+4+1 , 4+1+1 , 1+2+3 , 1+3+2  , 2+1+3 , 2+3+1 , 3+1+2 , 3+2+1 , 2+2+2の10通りになります。

これは、x+y+z=6 (x,y,zは自然数) という問題と同じで、4C2 などとしてすぐ求めることができます。

しかし、順序は考慮しないということなので、この問題は　x+y+z=6 (0<x≦y≦z)　となり、これの個数を一発で求めるのは簡単ではありません。そこで、書き上げてみると、1+1+4 , 1+2+3 , 2+2+2 となり、3通りの分割が可能でることがわかります。

では以下の図のように、とりあえずｎ＝1から12まで、試行錯誤で分割したものを表にしてみましょう。

得られた数列の最初の2項の０を飛ばして並べると { 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 12} となります。

ここから一般項を推測するのは難しいですね。ちょっとマニアックですが、上図の右に、一般項のかわりに母関数を推測した過程をあげておきました。きれいな式になるのですが、これはあくまで推測なので本当にそうなるかはまだわかりません。

次に、自然数ｎを3以下の自然数に分割する方法の総数を考えてみましょう。以下の表のように１から９まで調べたところ、

Ⅰと同じような { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 10 , 12}